Question

已知圆心C在直线上的圆过两点，.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线与圆C相交于A，B两点，①当时，求AB的方程；②在y轴上是否存在定点M，使，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）见解析，

【解析】

（1）设圆的方程为，根据已知条件列出方程组，解方程组即得；（2）①直线与圆相交于A，B两点，AB的长度和圆的半径已知，则可知圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式，可解得直线斜率k，即得直线方程；②设，，三点的坐标，根据题意可知直线MA、MB的斜率存在，设斜率分别为，，将与圆的方程联立消去y，可得关于x的一元二次方程，用A，B，M的坐标表示，，出若，则有，根据韦达定理将转化为含有k和m的式子，可知点M存在，并求出点M的坐标。

【解析】
（1）设圆C的方程为，

则有

解之得，

所以，圆C的方程为.

（2）①当时，圆心C到直线AB的距离，

又，

∴，

解得，

所以AB的方程是：或.

②设、、，

由题意知直线MA、MB的斜率存在，分别记为、，

把代入，

整理得，

于是，，，

∴

，

当且仅当时，对任意的k均有，即有.

所以，存在点满足要求.