Question

如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从中剪裁出两块全等的圆形铁皮与做圆柱的底面，剪裁出一个矩形做圆柱的侧面（接缝忽略不计），为圆柱的一条母线，点在上，点在的一条直径上，，分别与直线、相切，都与内切.

（1）求圆形铁皮半径的取值范围；

（2）请确定圆形铁皮与半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值）

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）记与切于点，记，的半径为，根据得到，解得答案.

（2），设，求导得到单调性得到最值.

（1）记与切于点，记，的半径为，

则，，

要想围成圆柱，则，即，

解得，即半径的取值范围为.

（2），

记，，令，得，

所以当时，，递增，，

所以在定义域上，体积随着的增大而增大，所以时，体积最大.