Question

定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中

（1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；

（3）若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）是“数列”，证明见解析；（3）存在，；

【解析】

（1）计算，故是公比为1的等比数列，计算得到答案.

（2）是“”数列，化简得到，即，得到证明.

（3）是公比为2的等比数列，，利用累加法得到，得到，计算得到答案.

（1）由题意可得，

由数列为“数列”可得，即，

则是公比为1的等比数列，即，

则是首项为1，公差为3的等差数列，；

（2）是“”数列，，

理由如下：时，由，可得，

两式作差可得即，

则，两式作差可得，即，

由，可得，则，

则对任意成立，则为首项是，公比为3的等比软列，

则为数列；

（3）由是数列，可得是公比为2的等比数列，

即，则，由，可得，则，

则，

则，若正整数满足，则，

由，则，则，

若，则，不满足，

若，则，则，即，

则，则正整数，则；

因此存在满足条件的.