Question

若函数为奇函数，且时有极小值.

（1）求实数的值；

（2）求实数的取值范围；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）计算，根据奇函数得到解得答案.

（2），讨论和两种情况，得到函数的单调区间和极值，计算得到答案.

（3）根据题意，令，求导得到时单调递减，令，则，，得到答案.

（1）由函数为奇函数可得，则，，则，

此时，对任意，，

满足为奇函数，；

（2），

①时，由，可得，则，仅当时可能为0，

则在上单调递增，无极小值；

②时，，令，可得，则，

，，

即，，则的解为，单调性如下表：

+

-

+

递增

递减

递增

则在处取得极小值，即，满足题意；

综上，的取值范围是；

（3）根据第二问可得，

则，

令，，

则时单调递减，

由，，，可得，

令，则，在单调递增，则的取值范围是.