在极坐标系中，直线
被曲线
截得的弦为
，当是最长弦时，求实数
的值.
已知圆
经矩阵
变换后得到圆
，求实数
的值.
若函数
为奇函数，且
时
有极小值
.
（1）求实数
的值；
（2）求实数
的取值范围；
（3）若
恒成立，求实数的取值范围.
定义：若无穷数列
满足
是公比为
的等比数列，则称数列为“
数列”.设数列
中
（1）若
，且数列是“数列”，求数列的通项公式；
（2）设数列的前
项和为
，且
，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“
数列”，是否存在正整数
，使得
？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.
设椭圆
的左右焦点分别为
，离心率是
，动点
在椭圆
上运动，当
轴时，
.
（1）求椭圆的方程；
（2）延长
分别交椭圆于点
（不重合）.设
，求
的最小值.
如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从
中剪裁出两块全等的圆形铁皮
与
做圆柱的底面，剪裁出一个矩形
做圆柱的侧面（接缝忽略不计），
为圆柱的一条母线，点
在上，点
在的一条直径上，
，
分别与直线
、
相切，都与内切.
（1）求圆形铁皮半径的取值范围；
（2）请确定圆形铁皮与半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值）
