Question

矩形ABCD中，，沿对角线AC将三角形ADC折起，得到四面体，四面体 外接球表面积为，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为（    ）

A. B. C. D.

Answer

B

【解析】

由四面体的外接球表面积计算出的长度，当体积最大时，计算出对应的棱长，再计算表面积即可.

因三棱锥的外接球表面积为，故其外接球半径为2，

容易知外接球的球心在AC的中点处，AC为外接球直径，

此时即可得，

在中由勾股定理可得，

故当四面体体积最大时，则平面DAC平面ABC，

过D点作AC的垂线，垂足为H，连接BH，如图所示：

因为平面DAC平面ABC，故

DH平面ABC，则DH.

则

在中，

在中，因为，

由余弦定理可得：

在中，因为，

由勾股定理可得：，

在中，因为，

由余弦定理可得

故解得

故四面体的表面积=

=

=

故选：B.