Question

在直角坐标系中，曲线与x轴交于A，B两点，点Q的坐标为.

（1）是否存在b，使得，如果存在求出b值；如果不存在，说明理由；

（2）过A，B，Q三点的圆面积最小时，求圆的方程.

Answer

（1）不存在，理由见详解；（2）

【解析】

（1）求解直线与直线的斜率，根据韦达定理，通过计算斜率之积，即可判断；

（2）通过求解的垂直平分线，求得外接圆圆心坐标，以及半径，再求得半径的最小值，在半径最小的情况下，求得参数，即可获得圆的方程.

（1）不能出现的情况，理由如下：

设，则满足，

所以.又Q坐标为.

故AQ的斜率与BQ的斜之积为

所以不能出现的情况.

（2）BQ的中点坐标为，

可得BQ的中垂线方程为

由（1）可得，

所以AB的中垂线方程为.

联立，

又，可得

所以过A、B、Q三点的圆的圆心坐标为，半径.

当时，半径r最小为，

此时圆的方程为：.