Question

如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，面平面ABCD.

（1）证明：平面BDE；

（2）若为等边三角形，，，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积.

 

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）通过面面垂直，找出交线，通过证明垂直于交线即可证明线面垂直；

（2）通过三棱锥的体积，求得四边形的边长，利用几何关系解得所有棱长，再计算棱锥的侧面积.

（1）因为四边形ABCD为菱形，所以，

因为面平面ABCD，面面，

故平面BDE.

（2）设，在菱形ABCD中，由，

可得，.

因为，所以在中，可得.

由，知为直角三角形.

可得.

又由（1）知，易得面ABCD

所以三棱锥的体积：

.故.

从而可得.

又在中，，，求得边上的高.

的面积与的面积均为.

的面积与的面积均为.

故四棱锥的侧面积为.