Question

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.

(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

(2)若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.

Answer

(1)，；(2).

【解析】

(1) 已知直线的极坐标方程，运用互化公式，，即可求出直角坐标方程.将曲线的参数方程进行消去参数，即可得出曲线的普通方程.

(2) 利用曲线的参数方程表示出点坐标，再写出点的直角坐标，便得出中点坐标，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离的最大值.

(1)∵直线的极坐标方程为，即.

由，，可得直线的直角坐标方程为.

将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.

(2)设.

点的极坐标化为直角坐标为.

则.

∴点到直线的距离.

当，即时，等号成立.

∴点到直线的距离的最大值为.