Question

如图，在四棱锥中，，，为的中点，是线段上的一点.

（1）若为的中点，求证：平面平面；

（2）当点在什么位置时，平面.

Answer

（1）证明见解析；（2）为靠近点的三等分点.

【解析】

（1）连接、，由中位线的性质得出，可得出平面，证明四边形为平行四边形，可得出，进而得出平面，再利用面面平行的判定定理可证明出平面平面；

（2）连接、，设，利用相似三角形得出，由平面结合线面平行的性质得出，再利用平行线分线段成比例定理可确定点的位置.

（1）如下图所示，连接、，

因为、分别为、的中点，所以，

平面，平面，所以，平面，

又因为，为的中点，所以，

又，所以四边形是平行四边形，，

平面，平面，平面，

又因为平面，平面，，

所以平面平面；

（2）连接、，设，连接，

因为平面，平面，平面平面，

，所以.

在梯形中，，，

又，所以，所以，，

所以为线段上靠近点的三等分点.