Question

如图所示棱锥中，底面是长方形，底面周长为，，且是四棱锥的高.设.

（1）当时，求三棱锥的体积；

（2）四棱锥外接球的表面积的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）计算出的面积，以为高，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积，即为三棱锥的体积；

（2）将四棱锥补成长方体，四棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设，则，利用二次函数的基本性质可求出外接球半径的最小值，再利用球体的表面积公式可得出结果.

（1）当时，，，的面积为，

因此，三棱锥的体积为；

（2）将四棱锥补成长方体，

则四棱锥的外接球和长方体的外接球相同.

设，则，所以球的半径， 当时，取得最小值，球的表面积，则的最小值为.