Question

已知函数f（x）=|2x﹣a|，g（x）=x+1．

（1）若a=1，求不等式f（x）≤1的解集；

（2）对任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a²+2a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）{x|0≤x≤1}．（2）﹣≤a≤2

【解析】

试题（1）根据绝对值定义得﹣1≤2x﹣1≤1，即得解集；（2）根据恒成立条件得|2x﹣a|+|x+1|的最小值大于或等于a2+2a．利用绝对值定义分类讨论|2x﹣a|+|x+1|的最小值为 ，最后解不等式≥a2+2a得实数a的取值范围．

试题解析：【解析】
（1）若a=1，不等式f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，即﹣1≤2x﹣1≤1，求得

0≤x≤1，

故不等式的解集为{x|0≤x≤1}．

（2）对任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a2+2a（a＞0）恒成立，即|2x﹣a|+|x+1|≥a2+2a，

故|2x﹣a|+|x+1|的最小值大于或等于a2+2a．

∵|2x﹣a|+|x+1|=，

故当x=时，|2x﹣a|+|x+1|取得最小值为+1，

∴+1≥a2+2a，求得﹣≤a≤2．