Question

如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为中点.

  

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）见详解；（2）

【解析】

（1）先证明面，得到，然后得到，利用线面垂直，进一步得到线线垂直，可得结果.

（2）利用建立空间坐标系，利用向量的方法，得到平面的一个法向量以及平面的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果.

（1）证明：

∵底面是边长为2的正方形，

，为中点，

∵，.

∵平面，平面，

∴.

∵

∴平面，

∵平面，∴，

∵.

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）

以为原点，

为轴，为轴，为轴，

建立如图空间直角坐标系.

则，，，

，，，

，

设平面的一个法向量，

则，

取，得.

设平面的一个法向量为.

则，

取.得，

，

∴二面角的正弦值

为