Question

已知，.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）增区间为，减区间为（2）

【解析】

（1）利用导数判断函数的单调性，可得，根据的符号，可得结果.

（2）构建新函数，利用导数判断的单调性，利用，可得结果.

（1）由题意知：

.

所以.

即

因为，令，得，

令，得，

所以在上单调递增，

在上单调递减.

（2）设.

因为.

令.

有.因为，有，

此时函数在上单调递增，

则.

（ⅰ）若即时，

在上单调递增，

则恒成立；

（ⅱ）若即时，

则在存在.

此时函数在上单调递减，

上单调递增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；

综上所述：

在恒成立，

实数的取值范围为.