Question

椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，试探究在轴上是否存在定点，使得可为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由？

Answer

（1）（2）存在，

【解析】

（1）根据，以及离心率，结合关系，可得结果.

（2）假设点坐标以及直线方程，可得坐标，然后联立与椭圆方程，利用韦达定理，计算，通过观察，可得结果.

（1）由知； ①

由题知 ②

又 ③，

由①②③得：，.

∴椭圆的方程为：.

（2）①当直线的斜率不为0时，

设，，，

直线的方程为，

由得，

∴.

∴

又，

所以化简可得

.

令，得.

故此时点，.

②当直线的斜率为0时，

可.

综上所述：

在轴上存在定点，

使得为定值.