Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于、两点，求的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由椭圆的离心率可得出，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出和的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求出的范围，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式求出的高，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求出该三角形面积的最大值.

（1）设椭圆的焦距为，则，.

则椭圆的方程可化为，

将点的坐标代入椭圆的方程得，可得，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，设点、，

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去，整理得，，得.

由韦达定理得，.

则，

直线的一般方程为，点到直线的距离为，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，面积的最大值为.