Question

已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程在区间上有两个不等的实根，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；（2）

【解析】

（1）把作为整体，分解因式，然后根据和1的大小分类讨论可得，同时注意指数函数性质；

（2）求出，把作为一个整体解得或，有且仅有一根，这样方程在区间上只有一个非零解．设，问题转化为方程在上只有一解，由二次方程根的分布知识可解，注意要分类讨论．

【解析】
（1）

当，即时

式化简为，此时不等式解集为.

当，即

式化简为，此时不等式解集为空集.

当，即时

式化简为，此时不等式解集为

综上：当时，不等式解集为

当时，不等式解集为

当时，不等式解集

（2）在区间上有两个不等的实根

在区间上有两个不等的实根.

方程化简为

即

或

解得

是原方程其中一解

由题意得方程在区间上只有一个非零解

令，

即方程在上只有一解

①当时，，代入方程得到（舍去）

②当时，设

令，得.

③时，设方程的两个根为，则

当时，符合题意，此时

当时，不符合题意，故舍去

综上：实数的取值范围为.