Question

已知函数对任意的实数m,n都有,且当时,有.

(1)求;

(2)求证:在R上为增函数;

(3)若,且关于x的不等式对任意的恒成立,求实数a的取值范围.

Answer

(1)1 (2)见解析(3)

【解析】

(1) 令，代入计算得到答案.

(2) 任取，，且，计算得到得到证明.

(3)化简得到，根据函数的单调性得到对任意的恒成立，讨论和两种情况计算得到答案.

(1)令，则.

(2)任取，，且，则，.

，

，

在上为增函数.

(3)，即，

.

又在上为增函数，

对任意的恒成立.

令，只需满足即可

当，即时，在上递增，因此，

由得，此时；

当，即时，，由得，此时.

综上，实数a的取值范围为.