Question

已知正三棱柱的所有棱长都为3，是的中点，是线段上的动点.若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球表面积的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

Answer

D

【解析】

由题可知,三棱锥的外接球的球心在上底面等边的中心与下底面等边的中心的连线的线段上,设球的半径为,,,则且,易得,则,,可得,代入中,则,由的范围可得的范围,即可得到的范围,进而求得球的表面积的范围

如图所示,依题意可知,三棱锥的外接球的球心在上底面等边的中心与下底面等边的中心的连线的线段上,连接、,设,,；

在中,得；

在中,,,

由得；

由和得整理得,所以,又因为得；

当时,的最小值为4；当时,的最小值为；

所以,

由球的表面积得,

故选:D