Question

如图，在四棱锥中，平面平面，，.

（1）求证：.

（2）若M为线段上的一点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设交BD于点P,利用≌及等腰三角形可证得,由平面平面可得平面,进而得证；

（2）由平面平面,平面平面,平面,,可得平面,作,则以P为原点,以射线为x轴,y轴,z轴正半轴建立空间直角坐标系,分别求得平面的法向量与平面的法向量,进而利用数量积求解即可

（1）证明：设交BD于点P,,所以≌,

所以,

在中,且,得,即,

又平面平面,平面平面,平面ABCD,

所以平面,

又平面,所以

（2）由题,平面平面,平面平面,平面,,所以平面,作,

以P为原点,以射线为x轴,y轴,z轴正半轴建立空间直角坐标系,如图所示,

由（1）,,,,

是等边三角形,,

则,,,,

,,,

设平面的法向量为,则,即,

令,则,,,

设平面的法向量为,则,即,

令,则,,,

设所求角为,则,

所求的锐二面角余弦值为