Question

如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，可证四边形是平行四边形，即得，即可证明线面平行.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦值.

【解析】
（1）证明：取的中点，连接，.

∵是的中点，∴.

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）【解析】
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

∵，，

∴，，

则，，，，，

则，.

设平面的法向量为，则，即，

令，则，得.

设直线与平面所成角为，∵，

∴，

故与平面所成角的正弦值为.