Question

已知圆：关于直线对称且过点和，直线过定点.

（1）证明：直线与圆相交；

（2）记直线与圆的两个交点为，.

①若弦长，求直线方程；

②求面积的最大值及面积的最大时的直线方程.

Answer

（1）见解析（2）①②

【解析】

（1）求出的垂直平分线方程，与联立，可得圆的圆心坐标，进而可得圆的半径，联立，计算判别式，可得结果；

（2）①设直线的方程为，求出弦心距，在利用半径和弦长列方程可得；

②根据面积公式可得，进而可求出最值及此时的直线方程.

（1）证明：∵、，

∴的垂直平分线为联立方程得圆心坐标

∴圆的方程为

又∵圆过点∴

进而得到圆的方程：，

设直线的方程为，则

联立得：

∴

∴直线与圆相交；

（2）【解析】
设直线的方程为，

记圆心到直线的距离为.

①∵，解得，

∴，解得，

此时直线的方程为，

②，

当时，三角形面积的最大值为2，

此时解得，

此时直线的方程为即.