Question

已知圆：关于直线对称且过点和，直线的方程为：.

（1）证明：直线与圆相交；

（2）记直线与圆的两个交点为，.

①若弦长，求实数的值；

②求面积的最大值及面积的最大时的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）①0，②2，.

【解析】

（1）首先根据题中条件求出圆方程，再根据圆与直线的位置关系证明直线与圆相交；

（2）①利用圆与直线所交弦长和圆的半径求出参数即可，②根据弦长与点到直线距离公式列出的面积公式，即可求出最大面积，再根据最大面积求出直线方程中的参数.

（1）∵，，

∴的垂直平分线为，

联立得圆心坐标，

∴圆的方程为，

∵圆过点，

∴，

得到圆的方程，

设直线的方程为，

联立，

得，

∴，

∴直线与圆相交；

（2）记圆心到直线的距离为，

①∵，

解得，

∴，

解得，

②，

当时，三角形面积的最大值为2，

此时，

解得.