Question

若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax²+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为_____．

Answer

[25，57]

【解析】

先把不等式变形为﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，结合f（x）＝x最值，找到的限制条件，结合线性规划的知识可得.

对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，

可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，

设f（x）＝x，x∈[1，4]；

可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，

可得时取得最小值4，或时取得最大值5，

所以f（x）的值域为[4，5]；

所以原不等式恒成立，等价于，

即，

设，则，

所以，

所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，

当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，

画出不等式组表示的平面区域，如图，

由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝5时zmax＝57；

当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，如图，

由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝4时zmax＝53；

综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．