Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数y＝f（x）图象的对称轴和对称中心；

（Ⅱ）若函数，的零点为x₁，x₂，求cos（x₁﹣x₂）的值．

Answer

（Ⅰ）对称轴方程为x，k∈Z，对称中心为（，0），k∈Z；（Ⅱ）±．

【解析】

（Ⅰ）先利用三角恒等变换化简目标函数，然后求解对称轴和对称中心；

（Ⅱ）先求出的零点，然后求解cos（x1﹣x2）的值．

函数sin4xcos4x＝sin（4x），

（Ⅰ）由4x，k∈Z，可得f（x）的对称轴方程为x，k∈Z，

令4xkπ，k∈Z，则x，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（，0），k∈Z；

（Ⅱ）根据函数，可得g（x）＝sin（4x），的零点为x1，x2，

∴sin（4x1）0，即sin（4x1），∴2sin（2x1）cos（2x1），

∴，∴．

由（Ⅰ）知，f（x）在内的对称轴为x，则x1+x2，∴x2x1，

∴cos（x1﹣x2）＝cos（x1﹣（x1）＝cos（2x1）＝sin（2x1）

＝sin（2x1）＝sin（2x1）

＝±．