Question

已知数列{a_n+1﹣a_n}是首项为，公比为的等比数列，a₁＝1．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{（3n﹣1）•a_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）an＝；（Ⅱ）Snn（3n+1）+5﹣（3n+5）•（）n．

【解析】

（Ⅰ）先求{an+1﹣an}的通项公式，再利用迭代法可得通项公式；

（Ⅱ）根据通项公式的特点，利用分组和错位相减法进行求和.

（Ⅰ）数列{an+1﹣an}是首项为，公比为的等比数列，a1＝1，

可得an+1﹣an•（）n﹣1＝（）n+1，，

即有an＝a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）＝1（）n；

所以.

（Ⅱ）（3n﹣1）•an（3n﹣1）﹣（3n﹣1）•（）n，

前n项和Sn（2+5++3n﹣1）﹣[2×5×（3n﹣1）•（）n]，

设Tn＝2×5×（3n﹣1）•（）n，

Tn＝2×5×（3n﹣1）•（）n+1，

两式相减可得Tn＝1+3（（）n）﹣（3n﹣1）•（）n+1

＝1+3×（3n﹣1）•（）n+1，

化简可得Tn＝5﹣（3n+5）•（）n，

则Snn（3n+1）﹣5+（3n+5）•（）n．