Question

已知函数．

（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为8，求实数a的值；

（Ⅱ）若函数g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4个零点，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）利用换元法，结合二次函数进行分类讨论求解；

（Ⅱ）先求的零点，结合二次方程根的分布情况可得实数a的取值范围．

（Ⅰ）函数，

令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则h（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值为8，函数h（t）的对称轴为t＝a，

①当a≥2时，，此时；

②当a≤﹣2时，，此时；

③当﹣2＜a＜0时，，此时无解；

④当0≤a＜2时，＝h（2）＝2a2﹣4a+2＝8，此时无解；

故实数a的值为.

（Ⅱ）令g（x）＝0，则f（x）＝8，

则由题意，方程t2﹣2at+2a2﹣2＝8，即t2﹣2at+2a2﹣10＝0必有两根，且一根小于﹣2，另一根大于2，

则，解得﹣1＜a＜1．

故实数a的取值范围为．