Question

已知正实数列a₁，a₂，…满足对于每个正整数k，均有，证明：

（Ⅰ）a₁+a₂≥2；

（Ⅱ）对于每个正整数n≥2，均有a₁+a₂+…+a_n≥n．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）利用已知条件可得，然后结合基本不等式可证；

（Ⅱ）利用数学归纳法进行证明.

证明：（Ⅰ）当k＝1时，有，即，，

∵，数列为正实数列，

由基本不等式1，∴，

∴a1+a2≥2．

（Ⅱ）用数学归纳法：

由（Ⅰ）得n＝2时，a1+a2≥2，不等式成立；

假设当n＝k（k≥2）时，a1+a2+…+ak≥k成立；

则当n＝k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1≥k，

要证kk+1，即证1，

即为kak≥ak2+k﹣1，即为（ak﹣1）（k﹣1）≥0，

∵k≥2，∴k﹣1≥1，当ak﹣1≥0时，a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1，

∴对于每个正整数n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．

当0＜ak＜1时，

∵对于每个正整数k，均有，

∴，则，

a1+a2+…+an+an+1an+1n﹣1+2＝n+1．

综上，对于每个正整数n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．