Question

已知数列{a_n}的首项，，．

(1)求证：数列为等比数列；

(2)记，若S_n<100，求最大正整数n；

(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且a_m－1，a_s－1，a_n－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）99；（3）不存在

【解析】

试题（1）根据可得，根据，可知，即，据此即可求证；（2）根据等比数列的通项公式可得，进而即可表示出，对其进行整理可得，由于，所以有，即，至此，即可得到最大正整数 ；（3）首先假设存在，根据等差数列的性质可得，再根据等比的性质可得，结合（2）中得到的通项公式可将其化简为，接下来再根据均值不等式可知，当且仅当时等号成立，至此，再根据互不相等即可得结果.

试题解析：(1)因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)．

所以数列为等比数列．

(2)由(1)可得－1＝·n－1，所以＝2·n＋1.

Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2·＝n＋1－，

若Sn<100，则n＋1－<100，因为函数y= n＋1－单调增， 所以最大正整数n的值为99.

(3)假设存在，则m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，

因为an＝，所以＝2，

化简得3m＋3n＝2·3s，因为3m＋3n≥2·＝2·3s，

当且仅当m＝n时等号，又m，s，n互不相等，所以不存在．