Question

已知两点、，动点在轴上的射影是，且.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设直线、的两个斜率存在，分别记为、，若，求点的坐标；

（3）若经过点的直线与动点的轨迹有两个交点、，当时，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或或或；（3）或.

【解析】

（1）设得，用坐标表示，求出轨迹方程为；

（2）由，求出关系，与椭圆方程联立，即可求解；

（3）设出直线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由根与系数关系，得出两点纵坐标关系，将转化为纵坐标表示，即可求解.

（1）设，则，

，

，即为所求的轨迹方程；

（2）直线、的两个斜率存在，

，

联立解得，即，

所以坐标为或或或；

（3）若直线斜率为0，，不合题意，

设直线方程为，

联立，消去得

，

设，

，

，整理得，

，

所求的直线方程为或.