Question

已知两点、，动点满足，记的轨迹为曲线，直线（）交曲线于、两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.

（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线；

（2）若，求△的面积；

（3）证明：△为直角三角形.

Answer

（1），轨迹是以、为焦点的椭圆；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1），根据椭圆定义，即可求出方程；

（2）设，可得，求出方程，与椭圆方程联立求出点坐标，再将与椭圆方程联立，求出坐标，即可求解；

（2）根据（2）中点坐标求出斜率，即可证明结论.

（1），

点轨迹就是以为焦点的椭圆，

其方程为；

（2）设，则，

直线方程为，

联立消去得，

，①

设为方程①的解，

，

，

联立，解得或，

，

；

（3）由（2）得，

，

，即△为直角三角形.