Question

已知棱台，平面平面，，，，D，E分别是和的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求与平面所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

(I) 取中点，可得平面，则，利用中位线的关系可得，从而可得平面，即可证明结论；(II)解法一，取中点，可得平面平面，平面平面,所以点E在平面的射影在DG上，故为与平面所成角，然后解三角形即可求解；解法二，构造空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求解.

【解析】
（Ⅰ）如图，取中点，连接.

因为，所以.

由平面平面，平面平面,

得平面，

所以，又，且，所以.

因为，所以平面，所以.

（Ⅱ）解法一：如图，取中点，连接，

则可知，所以平面即是平面.

因为平面，所以平面平面，

则为与平面所成角.

令，又由，，

可得，则，

所以.

解法二：如图，以为坐标原点，过点且垂直于平面的直线，和，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.

令，则，

所以，.

设平面的法向量，与平面所成角为.

而，，所以即

令，则，所以，

故

，

又与平面所成的角为锐角，所以.