Question

（江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值.

Answer

(1) ．(2)见解析.

【解析】

试题（1）设根据题意得到，化简得到轨迹方程；（2）设， ，，，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值.

解析：

（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，

设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，

所以圆的半径为，点 ，则直线的方程为，即，

所以，又，所以，即，

所以的方程为 ．

（2）设， ，，

由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，

由，所以，，

所以，，

所以．

令，，则，

由得，由得，

所以在区间单调递减，在单调递增，

所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值， 此时．