Question

已知.

（1）时，求的单调区间和最值；

（2）①若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围；②求证：

Answer

（1）减区间为，增区间为，最小值为，无最大值；（2）①；②证明见解析.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，求导，可知导函数在上为增函数，观察可知导函数的唯一零点为，进而得到函数的单调区间及最值；

（2）①先推导出，由得出，然后证明出在恒成立即可，即可得出；

②利用①的结论及常见不等式容易得证．

（1）当时，，则，

易知单调递增，又，当时，，当时，.

所以，函数的减区间为，增区间为，

函数的最小值为，无最大值；

（2）①必要性：若，则当时，，不合乎题意，所以，必有.

又，则；

充分性：易知.

故只要证明在恒成立即可，

即，令，

则，

则在单调递减，在单调递增，则.

故，因此，实数的取值范围是；

②由①可知，要证，只需证，

先证明不等式，构造函数，，

，令，可得.

当时，；当时，.

所以，函数的减区间为，增区间为，，

所以，对任意的，.

，

故成立.