Question

已知函数.

(1)若，求函数在处的切线方程；

(2)令，讨论函数的单调性；

(3)当时,，求a的取值范围.

Answer

（1）（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）利用公式，直接求切线方程；

（2），首先求函数的导数，，分类讨论函数的单调性；

（3）由（2）可知函数的单调性，结合，分，，，三种情况讨论函数的单调性，判断是否能使时，恒成立.

（1）当时，

，，

，，

函数在处的切线方程是；

（2），

，

当时，恒成立，函数的单调递减区间是，无单调递增区间；

当时， ，

（ⅰ）时，即时，的解集是，

的解集是 ，

所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；

（ⅱ）当时，即时，函数恒成立，即函数的单调递减区间是，无单调递增区间；

综上可知，当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是.

（3）时，成立，

由（2）可知当时，单调递减，当时，取得最大值，，

（ⅰ）当时，， 恒成立，单调递减， ，

当时，恒成立，；

（ⅱ）当时，，单调递减，存在，使，即，，单调递增，当时，，函数单调递减，

，使不恒成立，故不成立；

（ⅲ）当时，，由（2）可知的单调性，在必存在区间，使函数，即存在，使单调递增，

，使不恒成立，故不成立；

综上可知：.