Question

已知函数f(x)=-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

（2）当m≤2时，证明f(x)>0.

Answer

(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析

【解析】

(1)．

由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．

于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．

函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．

所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．

(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．

当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．

又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．

当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．

由f '(x0)=0得=，，

故．

综上，当m≤2时， f(x)>0．