Question

已知函数，（x＞0）．

（1）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求证：ab＞1；

（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（3）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．

Answer

（1）证明见详解；（2）不存在适合条件的实数a，b，证明见详解；（3）．

【解析】

（1）根据函数单调性，初步判断与1的大小关系，根据f（a）＝f（b）得到等量关系，用均值不等式进行处理；

（2）对与1的大小关系进行分类讨论，寻找满足题意的；

（3）对的取值进行分类讨论，利用函数的单调性，进行求解.

（1）证明：∵x＞0，∴

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．

由0＜a＜b，且f（a）＝f（b），

可得 0＜a＜1＜b和，

即．

∴2ab＝a+b．

故，即ab＞1．

（2）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，使得函数y的定义域、值域都是[a，b]，

则a＞0，

①当a，b∈（0，1）时，在（0，1）上为减函数．

故，即，解得a＝b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

②当a，b∈[1，+∞）时，在（1，+∞）上是增函数．

故，即

此时a，b是方程x2﹣x+1＝0的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，

由于1∈[a，b]，而f（1）＝0∉[a，b]，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

综上可知，不存在适合条件的实数a，b．

（3）若存在实数a，b（a＜b），

使得函数y＝f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

则a＞0，m＞0．

①当a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，

故．

此时得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．

②当a∈（0，1）或b∈[1，+∞）时，

由（ 2）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]所以a，b不存在．

故只有a，b∈[1，+∞）．

∵在[1，+∞）上是增函数，

∴，即

∴a，b是方程mx2﹣x+1＝0的两个根，

即关于x的方程mx2﹣x+1＝0有两个大于1的实根．

设这两个根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2．

∴，即

解得．

故m的取值范围是．