Question

已知函数.

(1)当时，求在点处的切线方程；

(2)令，若对于任意的，都有，求的取值范围.

Answer

(1)；(2)

【解析】

（1）求导，利用导数的几何意义，求得切线方程；

（2）由（1）求得，对参数进行分类讨论，求得对应情况下函数的单调性，结合函数的最值，求解参数的范围.

（1）当时，，

∴，则，

又，

∴在点处的切线方程为，

即.

（2）由题设知，

所以的定义域为，.

当时，，在上单调递增，

又，不合题意；

当时，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴函数在处取得最大值为.

∵对于任意的，都有，

∴，即，

∴的取值范围是.