Question

已知函数.

（Ⅰ）设，用定义证明：函数在上是增函数；

（Ⅱ）若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）任取,且,代入解析式可求得,变形后即可判断函数的单调性.

（Ⅱ）先判断出函数与的单调性,即可根据零点存在定理求得的取值范围.

（Ⅰ）证明:由题意得.

任取,且,

则

.

因为,且,

所以,,,

所以,

所以函数在上是增函数.

（Ⅱ）由题意的定义域为.由（Ⅰ）知,在上单调递增,

所以在上单调递增.

因为在区间上有零点,

所以

所以.