Question

已知圆：，圆：.

（Ⅰ）设直线被圆所截得的弦的中点为，判断点与圆的位置关系；

（Ⅱ）设圆被圆截得的一段圆弧（在圆内部，含端点）为，若直线：与圆弧只有一个公共点，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）点在圆上.（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）将直线方程代入圆的方程，消去，得到，则，从而得到的横坐标为2，再代入直线方程求出的坐标，即可判断点与圆的位置关系；

（2）设和的交点为，，直线恒过的定点为，求出两圆的交点坐标，

分直线与圆相切时，与直线与圆弧相交两种情况计算可得.

【解析】
（1）将代入圆的方程可得.

设此方程的两实根分别为，，则.

所以点的横坐标为2，从而可得.

因为，所以点在圆上.

（Ⅱ）如图，因为直线：，解得，即直线恒过的定点为.

设和的交点为，，直线恒过的定点为.

由解得，.

所以，.

（ⅰ）当直线与圆相切时.

由可得.

令，则.

此时解得，切点在圆弧上，符合题意.

（ⅱ）当直线与圆弧相交时，由图可知，要使交点只有一个，则在和之间.

因为，，

所以.

综上所述，的取值范围是或.