Question

已知点是椭圆的一个焦点,点 在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点,且 (为坐标原点),求直线斜率的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为，利用椭圆的定义，求得，再理由椭圆中，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，在由，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。

（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为，

所以点到两焦点的距离之和为.

所以.

又因为，所以，则椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意.

故设直线的方程为，，，

联立，可得.

所以

而，

由，可得.

所以，又因为，所以.

综上，.