Question

已知数列各项均为正数，S_n是数列的前n项的和，对任意的，都有.数列各项都是正整数，，且数列是等比数列．

(1) 证明：数列是等差数列；

(2) 求数列的通项公式；

(3)求满足的最小正整数n.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）5

【解析】

(1) 当时，可求得.当时，由得，所以两式相减得，由此可证明数列是首项，公差的等差数列；

(2)由(1)得， 推导出数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此可求得通项公式；

(3)由，得.设，令得，即.由得.令得，知，所以，可求出满足的最小的正整数.

(1)当时，，即，，由得.

当时，由得，所以两式相减得，

所以.由知，所以，

所以数列是首项，公差的等差数列.

(2)由(1)得， 由,所以数列的公比，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.

又，所以，即.

(3)由，得.

设，

则.

令得，即.由得.

令得，知，

所以，

又因为，故当时，，

所以满足的最小正整数n为5.