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已知,分别为双曲线的左、右焦点,点P是以为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段...

已知分别为双曲线的左、右焦点,点P是以为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段的中点QC的渐近线上,则C的两条渐近线方程为__________

 

y=±2x 【解析】 求得双曲线的渐近线方程,由圆的性质可得PF1⊥PF2,由三角形的中位线定理可得PF1⊥OQ,OQ的方程设为bx+ay=0,运用点到直线的距离公式可得F1(﹣c,0)到OQ的距离,结合双曲线的定义可得b=2a,进而双曲线的渐近线方程. 双曲线的渐近线方程为y=±x, 点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点,可得PF1⊥PF2, 线段PF1的中点Q在C的渐近线,可得OQ∥PF2, 且PF1⊥OQ,OQ的方程设为bx+ay=0, 可得F1(﹣c,0)到OQ的距离为b, 即有|PF1|=2b,|PF2|=2|OQ|=2a, 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2b﹣2a=2a, 即b=2a, 所以双曲线的渐近线方程为y=±2x. 故答案为:y=±2x.
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