Question

已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P是以为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为__________．

Answer

y＝±2x

【解析】

求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF1⊥PF2，由三角形的中位线定理可得PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，运用点到直线的距离公式可得F1（﹣c，0）到OQ的距离，结合双曲线的定义可得b＝2a，进而双曲线的渐近线方程．

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，

线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，

且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，

可得F1（﹣c，0）到OQ的距离为b，

即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，

即b＝2a，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．

故答案为：y＝±2x．