Question

在直角坐标平面中，已知点，，，…，，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，…，为关于点的对称点.

（1）求向量的坐标；

（2）当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图像，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线为图像的函数在上的解析式；

（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）先设点，由题意求出，进而得到，从而可求出向量；

（2）先由题意，得到是由曲线按向量平移得到的；根据图像变换，以及函数周期，即可得出结果；

（3）先由为关于点的对称点，为关于点的对称点，得到，再由向量的运算法则，结合向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式，即可求出结果.

（1）设点，因为为关于点的对称点，所以，

又为关于点的对称点，

所以，即，

因此；

（2）由（1），

因为点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图像，

所以的图像由曲线向右平移个单位，再向上平移个单位得到，

因此，设曲线是函数的图像，因为是以3为周期的周期函数，

所以也是以为周期的周期函数，

当时，，

所以当时，；

于是，当时，；

（3）由题意，为关于点的对称点，为关于点的对称点.

所以在中，为的中点，为的中点，

所以，

因此，

.