Question

已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为12.圆的圆心为.

（1）求的面积；

（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆.问：是否存在实数k使得圆包围椭圆？请说明理由.

Answer

(1);(2)不存在,理由见详解

【解析】

(1)根据题意分析可得,的值,进而得到,再求出的坐标,即可得到答案;

(2)分与两种情况讨论,发现椭圆上总有点在圆外,进而可得结论.

(1)设椭圆方程为:,

椭圆上一点到和的距离之和为12,则有,即,

又长轴长是短轴长的2倍,即,则,

所以椭圆方程为:,

所以,,

又,圆心,

所以△的面积;

(2)当时,将椭圆顶点代入圆方程得:,

故椭圆顶点在圆外;

当时,将椭圆顶点代入圆方程得:,

故椭圆顶点在圆外;

所以,不论取何值,圆都不可能包围椭圆.