Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，底面ABCD，点M为PC中点，，，.

（1）求异面直线AP与BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.

Answer

(1);(2)

【解析】

(1)以为原点,,,方向为轴,轴,轴正方向,建立空间直角坐标系,再利用向量法即可求解;

(2)求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,再利用向量法求解即可.

(1)因为是菱形,所以,又底面,

故以为原点,,,方向为轴,轴,轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,

则,0,,,1,,,0,,,0,,,0,,

所以,0,,,,,

,,

故直线与所成角的余弦值为;

(2),1,,,,,

设平面的一个法向量为,,,

则,令,得,4,,

又平面的一个法向量为,1,,

,

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.