Question

已知数列中，.又数列满足：.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若数列是单调递增数列，求实数a的取值范围；

（3）若数列的各项皆为正数，设是数列的前n和，问：是否存在整数a，使得数列是单调递减数列？若存在，求出整数；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)证明见详解;(2);(3)存在,此时

【解析】

(1)将已知条件转化,利用定义法证明数列是等比数列;

(2)利用数列的单调性,即可求出参数的范围;

(3)假设数列是单调递减数列,利用其性质可推出满足条件的整数a,进而得以证明.

(1),

,

,

,

即,

又,

由,可知,

所以是以为首项,2为公比的等比数列;

(2)由(1)知,

所以,

若是单调递增数列,

则对于,恒成立,

又

,

所以对于恒成立,

即对于恒成立,

由于单调递增,且,

,

所以,又,则,

所以的取值范围为;

(3)因为数列的各项皆为正数,

所以,则,

,

若数列是单调递减数列,则,即

所以,即

又,所以,

即,即(),

故存在正整数,使得数列是单调递减数列.