Question

已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是_____，向量的取值范围是_____.

Answer

【解析】

①由题可知的最小值为，用含t的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得t；

②表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，得答案.

①由题

因为，，所以

因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，最小

所以，解得

又因为与的夹角为锐角，所以，故；

②因为

又有

将模长代入，设

即原式

因为，所以

故答案为：①；②