Question

已知函数.

（1）判断的奇偶性，并证明；

（2）用定义证明函数在上单调递减；

（3）若，求的取值范围.

Answer

（1）偶函数；见解析（2）见解析（3）

【解析】

（1）因为中含有对数，定义域需满足真数大于0，求得定义域为，关于原点对称，再表示，判断其等于，为偶函数；

（2）设任意，对作差，化简后由真数大于1的对数大于0，得，即得证明；

（3）由（1）（2）可知是偶函数且在区间的单调递减，由偶函数的性质以及函数成立需满足定义域从而构建不等式组，解之得答案.

（1）因为，所以函数的定义域为，

因为，所以是偶函数；

（2）任取且，

则，

因为且，所以，

所以，

即，所以在区间上单调递减.

（3）因为是偶函数，所以，

又因为定义域为，且在区间的单调递减，

因为，所以，解之得

所以的取值范围是.