Question

已知函数，.

（1）若函数在区间上的最大值和最小值之和为6，求实数的值；

（2）设函数，若函数在区间上恒有零点，求实数的取值范围；

（3）在问题（2）中，令，比较与0的大小关系，并说明理由.

Answer

（1）（2）；（3）.见解析

【解析】

（1）由指数函数中底数大于1，函数单调递增，表示在上最大最小值，由已知构建方程，借助换元法求得答案；

（2）由的单调性，可知常数的单调性也是单调增函数，由函数零点的存在性定理可知，整理得，由，解不等式组得答案；

（3）当时，表示，对其通分、化简、配成完全平方式，可得答案.

（1）因为在上单调递增，所以在上最大最小值分别为，，又因为最大最小值之和为6，所以，

设，则，解之得：，（舍去）

当时得，所以；

（2）因为在上单调增函数，

所以在上也是单调增函数，

若函数在区间上恒有零点，则必有，

即，整理得

因为，所以，解得；

（3）当时，

因为，所以，所以.